曲线运动

曲线运动

概念

物体的运动轨迹是曲线的运动,就叫作曲线运动。

速度方向

曲线运动的速度方向沿着轨迹的切线方向。

条件

物体所受的合外力与物体的速度方向不在一条直线上。

  • 存在合外力;
  • 一定有初速度;
  • 合外力与速度方向不在一条直线上.。

特点

速度

当合外力与物体的速度之间的夹角为锐角时物体做加速曲线运动。当合外力与物体的速度之间为钝角时,物体做减速曲线运动。曲线运动一定是变速运动。

这里的变速是指方向一定发生改变,而速度大小不一定改变。
轨迹

合外力的方向始终指向轨迹的凹侧。

设合外力与速度方向的夹角为$\theta$。

如果一个物体所受的合外力恒定不变,即这个物体的加速度$a$是恒定不变的,则此时物体所做的曲线运动被称为匀变速曲线运动。合外力是恒力时,$\theta$会越来越小,但是始终$\theta \gt 0$。

运动的合成与分解

运动的合成与分解

实质

运动的合成与分解实际就是对物体的速度、加速度、位移进行合成与分解。

方法

与力的合成与分解方法一样,都遵循平行四边形法则。

合运动

物体实际相对地面的运动称为合运动。

分运动与合运动的关系

  • 等时性:同时开始,同时结束;
  • 独立性:各分运动之间是独立的,互不干扰;
  • 等效性:分运动与合运动等效。

两个不在一条直线上的直线运动的合运动

  • 两个匀速直线运动的合运动一定也是匀速直线运动。
  • 一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速曲线运动。
  • 两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动可能是匀变速直线运动,也可能是匀变速曲线运动。

小船过河问题

特点

  • 小船过河起决定作用的是船速在垂直河岸方向的分速度,过河时间是$t=\cfrac{s}{v_{\text{分}}}=\cfrac{d}{v_{\text{船}}\sin\theta}$。
  • 当船头垂直河岸方向放置时过河时间最小,是$t_{min}=\cfrac{d}{v_{\text{船}}}$。
  • 若船速大于水流速度,则船能够垂直的到达河的正对岸.此时船头应该指向河的上游与河岸成$\theta=\cos^{-1}\left(\cfrac{v_{\text{水}}}{v_{\text{船}}}\right)$。此时位移$x_{min}=d$。
  • 若船速小于水流速度,此时船不能垂直的到达河的正对岸.此时当船速与船的合速度垂直的时候过河位移最小,船头应指向河的上游与河岸成$\theta=\cos^{-1}\left(\cfrac{v_{\text{水}}}{v_{\text{船}}}\right)$。此时位移$x_{min}=\cfrac{d}{\cos\theta}$。

连接体问题

方法

杆或者绳子两端沿着绳子方向的速度大小相等。

解题步骤

1.看物体的速度是否沿着绳或杆。

2.物体的速度没有沿着绳或杆就将谁的速度沿着绳或杆的方向和垂直绳或杆的方向正交分解。

3.根据绳或杆两端沿着绳或杆方向的速度大小相等,列式解题。

平抛运动

特点

  • 在单位时间内速度增量大小相等,方向竖直向下。
  • 具有水平方向的初速度,竖直方向的初速度为零。
  • 水平方向做匀速直线运动,竖直方向做的是初速度为零的匀加速直线运动(即自由落体运动)。

公式

$$ x=v_0t\\ y=\cfrac 12gt^2\\v_x=v_0\\v_y=gt \tan\theta=\cfrac{v_y}{v_x}=\cfrac yd=\cfrac{gt}{v_0}=\cfrac{gt^2}{v_0t}=\cfrac{2y}x=2\tan\alpha=\cfrac{2y}{x} $$

平抛运动的实验

目的

描述平抛运动的轨迹。

注意事项

  • 斜槽末端必须保持水平,使小球具有水平方向的初速度。验证方法:将小球轻放于斜槽末端,若小球能够保持静止则斜槽末端水平。
  • $y$轴的方向竖直向下。
  • 坐标原点为小球在斜槽末端的球心在坐标纸上的投影点。
  • 每次实验都需要从斜槽同一高度静止释放。

公式

$a=\cfrac{\Delta v}{\Delta t}=g$

斜面上的平抛运动与类平抛运动

斜面上的平抛运动

处理方法

沿水平方向和竖直方向构造一个三角形。

在斜面上以不同的初速度平抛的物体,只要落在斜面上,速度方向与斜面的夹角是一样的。

类平抛运动

在两个相互垂直的方向,一个方向物体做匀速直线运动,另一个方向物体做初速度为零的匀加速直线运动。

斜抛运动

特点

  • 水平方向做匀速直线运动。
  • 竖直方向做竖直上抛运动。
  • 当且仅当竖直方向的分速度为$0$时到达最高点。
  • 当$\theta=\cfrac\pi 4$水平总位移最大。

公式

$$ v_{x_0}=v_0\cos\theta\\ v_{y_0}=v_0\sin\theta\\ t_{\text{上}}=\cfrac{v_{y_0}}g=\cfrac{v_0\sin\theta}g\\ t_{\text{总}}=2t_{\text{上}}=\cfrac{2v_{y_0}}g=\cfrac{2v_0\sin\theta}g\\ x_{\text{水平}}=\cfrac{2v_0^2\sin\theta\cos\theta}g=\cfrac{v_0^2\sin2\theta}g $$

圆周运动

定义

凡是运动轨迹为圆周的运动是圆周运动。

条件

  • 必须要有力始终指向圆心,这个力称为向心力。

注:向心力由别的力来充当,并非物体单独受到的一个力。

物理量

线速度

矢量,方向沿着圆周的切线方向。

$v=\cfrac{\Delta s}{\Delta t}$

角速度

矢量,方向由右手定则判断。单位是$rad/s$

$\omega=\cfrac{\Delta\varphi}{\Delta t}$

周期

物体转一圈的时间叫一个周期。

$T=\cfrac{2\pi}{\omega}$

频率

每秒物体转多少圈叫作频率。单位是赫兹。

$f=T^{-1}$

转速

每秒或者每分钟或者每小时物体转多少圈。当转速的单位是$r/s$时,转速与频率在数值上相等。

向心力

特点

  • 方向始终指向圆心。
  • 向心力只改变物体速度的方向。
  • 不改变物体速度的大小。

公式

$F=\frac{m \mathrm{v}^{2}}{R}=m R \omega^{2}=\frac{4 \pi^{2} m R}{T^{2}}=4 \pi^{2} m R f^{2}=4 \pi^{2} m R n^{2}$

向心加速度

定义

由向心力产生的加速度就是向心加速度。

物理意义

反映物体线速度方向变化快慢的物理量。

公式

$a=\frac{\mathrm{v}^{2}}{R}=R \omega^{2}=\frac{4 \pi^{2} R}{T^{2}}=4 \pi^{2} R f^{2}=4 \pi^{2} R n^{2}$

匀速圆周运动

特点

  • 线速度大小始终不变的圆周运动.。
  • 角速度大小和方向都不变。
  • 合力方向一定始终指向圆心,合力充当向心力。

传动装置

不同传动装置的特点

  • 同轴传动:除轴心点以外,所有的点的角速度都相等。
  • 皮带传动:两轮边缘上各点线速度大小相等。
  • 齿轮传动:

    • 两齿轮边缘上各点线速度大小相等。
    • 两齿轮半径之比就等于齿的个数比。

圆周运动的实例分析

小车过桥问题

凸型桥

$m g-N=\frac{\mathrm{mv}^{2}}{R} \Rightarrow \mathrm{mg}>N$

当$N=0$时,$m g=\frac{m v_{0}^{2}}{R} \Rightarrow v_{0}=\sqrt{g R}$。

当$v_{\text{车}}\gt v_0=\sqrt{gR}$时小车将做平抛运动。

凹形桥

$N-m g=\frac{\mathrm{mv}^{2}}{R} \Rightarrow \mathrm{mg}<N$

旋转秋千

$m g \tan \alpha=\frac{\mathrm{mv}^{2}}{r} \Rightarrow \mathrm{v}=\sqrt{g r \tan \alpha}$
$r=l \sin \alpha$

火车转弯

若内外轨道处于相同的水平高度,轮缘挤压外轨.为了避免轮缘挤压轨道,让外轨道略高于内轨道。

$\sin \theta=\frac{h}{d}$
$m g \tan \theta=\frac{\mathrm{mv}^{2}}{R}$
$\mathrm{v}=\sqrt{g R \tan \theta}$

Last modification:March 19th, 2020 at 07:51 pm
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