特征方程、特征根、数列通项公式基础

我们在高中数列中经常见到递推式表示的数列。对于这些数列,我们在教材上只要求使用列举法进行计算。数据量较大时这种方法显然不可用。

对于这类数列,我们常使用待定系数法特征方程法计算其通项公式。

一阶线性递推数列

对于形如$x_{n+1}=p x_{n}+q\left(n\in\mathbb{N^*},p\neq 1\right)$的递推式,称为一阶线性递推式。$x_1$为一给定的常数。

我们尝试构造公比为$p$的等比数列

假设存在$x_0 \in \mathbb{R}$,使得$x_{n+1}-x_{0}=p \cdot\left(x_{n}-x_{0}\right)$。整理得$(1-p) \cdot x_{0}=q$,解得$x_{0}=\frac{q}{1-p}$。

所以数列$\left\{x_{n}-\frac{q}{1-p}\right\}$是首项为$x_{1}-\frac{q}{1-p}$,公比为$p$的等比数列。

根据等比数列的公式,可得$x_{n}-\frac{q}{1-p}=p^{n-1} \cdot\left(x_{1}-\frac{q}{1-p}\right)$。整理得$x_{n}=\frac{q}{1-p}+p^{n-1} \cdot\left(x_{1}-\frac{q}{1-p}\right)$。

二阶线性递推数列

对于形如$x_{n+1}=p x_{n}+q x_{n-1}$的递推式,称为二阶线性递推式。$x_1,x_2$为给定的常数。

我们也尝试构造等比数列

假设存在$a, b \in \mathbb{R}$,使得$x_{n+1}-a x_{n}=b \cdot\left(x_{n}-a x_{n-1}\right)$。整理得$x_{n+1}=(a+b) \cdot x_{n}-a b \cdot x_{n-1}$,与递推式比较可知$\left\{\begin{array}{l}a+b=p \\ a b=-q\end{array}\right.$,考虑韦达定理构造二次方程$x^{2}-p x-q=0$,其中$a,b$是该方程的两个实数根。

当该方程无实数根时,数列不存在通项公式。

所以数列$\left\{x_{n+1}-a x_{n}\right\}$是首项为$x_{2}-ax_1$,公比为$b$的等比数列。根据等比数列的公式,可得$x_{n+1}-a x_{n}=\left(x_{2}-a x_{1}\right) \cdot b^{n-1}$。

同理可得$x_{n+1}-b x_{n}=a \cdot\left(x_{n}-b x_{n-1}\right),$ 因此 $\left\{x_{n+1}-b x_{n}\right\}$ 是公比为$a$的等比数列。根据公式得$x_{n+1}-b x_{n}=\left(x_{2}-b x_{1}\right) \cdot a^{n-1}$

整理得$x_{n}=\frac{x_{2}-b x_{1}}{a-b} \cdot a^{n-1}+\frac{x_{2}-a x_{1}}{b-a} \cdot b^{n-1}$。

当然最后一步亦可以继续使用韦达定理和待定系数法求解。设$x_{n}=\alpha \cdot a^{n-1}+\beta \cdot b^{n-1}$。则$\left\{\begin{array}{l}x_{1}=\alpha+\beta \\ x_{2}=\alpha \cdot a+\beta \cdot b\end{array}\right.$。解得$\left\{\begin{array}{l}\alpha=\frac{x_{2}-b x_{1}}{a-b} \\ \beta=\frac{x_{2}-a x_{1}}{b-a}\end{array}\right.$。

特征根法

设数列$\left\{x_{n}\right\}$的前两项$x_{1}, x_{2}$,$x_{n+1}=p x_{n}+q x_{n-1}$已知,且 该数列不是常数列,则称方程$x^{2}-p x-q=0$为该数列的特征方程。该方程若有两个实数根$a,b$,即$\Delta=p^2+4q\geq 0$,则称这两个根为该数列的特征根

因此设数列$x_{n}=\alpha \cdot a^{n-1}+\beta \cdot b^{n-1}$,由$\left\{\begin{array}{l}x_{1}=\alpha+\beta \\ x_{2}=\alpha \cdot a+\beta \cdot b\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}\alpha=\frac{x_{2}-b x_{1}}{a-b} \\ \beta=\frac{x_{2}-a x_{1}}{b-a}\end{array}\right.$。

因此数列的通项公式为$x_{n}=\frac{x_{2}-b x_{1}}{a-b} \cdot a^{n-1}+\frac{x_{2}-a x_{1}}{b-a} \cdot b^{n-1}$ 。

参考资料

Last modification:May 16th, 2020 at 09:41 am
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